Matematiker upptäcker ett helt nytt sätt att hitta primtal
I århundraden har primtal tagit fantasin från matematiker, som fortsätter att söka efter nya mönster som hjälper till att identifiera dem och hur de distribueras bland andra nummer. Primes är hela siffror som är större än 1 och är delbara med endast 1 och sig själva. De tre minsta primtal är 2, 3 och 5. Det är lätt att ta reda på om små siffror är främsta – man behöver helt enkelt kontrollera vilka nummer som kan faktorera dem. När matematiker anser dock att ett stort antal är att urskilja uppgiften Vilka är främsta Snabb svampar i svårigheter. Även om det kan vara praktiskt att kontrollera om siffrorna 10 eller 1 000 har mer än två faktorer, är den strategin ogynnsam eller till och med ohållbar för att kontrollera om gigantiska siffror är främsta eller sammansatta. Till exempel största kända primtalsom är 2136279841 – 1, är 41 024 320 siffror långa. Till att börja med kan det antalet verka förbluffande stort. Med tanke på att det finns oändligt många positiva heltal i alla olika storlekar, är detta nummer emellertid mindre jämfört med ännu större primes.
Dessutom vill matematiker göra mer än bara tråkigt försök att Faktornummer en efter en För att avgöra om något givet heltal är prim. ”Vi är intresserade av primtalen eftersom det finns oändligt många av dem, men det är väldigt svårt att identifiera några mönster i dem,” säger Ken Ono, en matematiker vid University of Virginia. Ändå är ett huvudmål att bestämma hur primtal fördelas inom större uppsättningar av siffror.
Nyligen identifierade Ono och två av hans kollegor-William Craig, en matematiker vid US Naval Academy, och Jan-Willem Van Ittersum, en matematiker vid University of Cologne i Tyskland-en helt ny strategi för att hitta primtal. ”Vi har beskrivit oändligt många nya typer av kriterier för att exakt bestämma uppsättningen av primtal, som alla skiljer sig mycket från” om du inte kan faktorera det, måste det vara primat, ”säger Ono. Han och hans kollegas papper, publicerad i The Proceedings of the National Academy of Sciences USA, var löpande för ett fysiskt vetenskapspris som erkänner vetenskaplig excellens och originalitet. På något sätt erbjuder upptäckten ett oändligt antal nya definitioner för vad det betyder för att siffror ska vara prime, Ono -anteckningar.
Kärnan i teamets strategi är en uppfattning som kallas heltalspartitioner. ”Teorin om partitioner är väldigt gammal”, säger Ono. Det går tillbaka till 1700-talets schweiziska matematiker Leonhard Euler, och den har fortsatt att utvidgas och förfinas av matematiker över tid. ”Partitioner verkar vid första anblicken vara saker av barns lek,” säger Ono. ”Hur många sätt kan du lägga till nummer för att få andra nummer?” Till exempel har nummer 5 sju partitioner: 4 + 1, 3 + 2, 3 + 1 + 1, 2 + 2 + 1, 2 + 1 + 1 + 1 och 1 + 1 + 1 + 1 + 1.
Ändå visar sig konceptet vara kraftfullt som en dold nyckel som låser upp nya sätt att upptäcka primes. ”Det är anmärkningsvärt att ett sådant klassiskt kombinatoriskt objekt – partitionsfunktionen – kan användas för att upptäcka primes på detta nya sätt,” säger Kathrin Bringmann, en matematiker vid University of Cologne. (Bringmann har arbetat med Ono och Craig tidigare, och hon är för närvarande Van Itertersums postdoktorstrådare, men hon var inte involverad i denna forskning.) Ono konstaterar att idén till denna strategi har sitt ursprung i en fråga som ställts av en av hans tidigare studenter, Robert Schneider, som nu är matematiker vid Michigan Technological University.
Ono, Craig och Van Itertersum bevisade att primtal är lösningarna för ett oändligt antal av en viss typ av polynomekvation i partitionsfunktioner. Utsiktad Diofantisk ekvationer Efter tredje århundradets matematiker Diophantus i Alexandria (och studerade långt före honom) kan dessa uttryck ha heltalslösningar eller rationella (vilket innebär att de kan skrivas som en bråkdel). Med andra ord visar upptäckten att ”heltalspartitioner upptäcker primorna på oändligt många naturliga sätt”, skrev forskarna i sin PNA papper.
George Andrews, en matematiker vid Pennsylvania State University, som redigerade PNA Papper men var inte involverad i forskningen, beskriver upptäckten som ”något som är helt nytt” och ”inte något som förväntades”, vilket gör det svårt att förutsäga ”vart den kommer att leda.”
Släkt: Vad är det största kända primtalet?
Upptäckten går utöver att undersöka fördelningen av primtal. ”Vi spikar faktiskt alla främsta nummer på näsan,” säger Ono. I den här metoden kan du ansluta ett heltal som är två eller större till särskilda ekvationer, och om de är sanna är heltalet primat. En sådan ekvation är (3n3 – 13n2 + 18n – 8)M1(n) + (12n2 – 120n + 212)M2(n) – 960M3(n) = 0, var M1(n), M2(n) och M3(n) är väl studerade partitionsfunktioner. ”Mer generellt”, för en viss typ av partitionsfunktion ”, bevisar vi att det finns oändligt många sådana primära detekterande ekvationer med ständiga koefficienter,” skrev forskarna i deras PNA papper. Sätt enklare, ”Det är nästan som att vårt arbete ger dig oändligt många nya definitioner för Prime,” säger Ono. ”Det är typ av sinnesblåsande.”
Teamets resultat kan leda till många nya upptäckter, anteckningar. ”Utöver dess inneboende matematiska intresse kan detta arbete inspirera ytterligare undersökningar av de överraskande algebraiska eller analytiska egenskaperna dolda i kombinatoriska funktioner,” säger hon. I Combinatorics – The Mathematics of Counting – används kombinationsfunktioner för att beskriva antalet sätt som objekt i uppsättningar kan väljas eller ordnas. ”Mer allmänt visar det rikedomen i förbindelserna i matematik,” tillägger hon. ”Dessa typer av resultat stimulerar ofta färskt tänkande över underfält.”
Bringmann föreslår några potentiella sätt som matematiker kan bygga vidare på forskningen. Till exempel kan de undersöka vilka andra typer av matematiska strukturer som kunde hittas med hjälp av partitionsfunktioner eller leta efter sätt som huvudresultatet kan utvidgas för att studera olika typer av siffror. ”Finns det generaliseringar av huvudresultatet till andra sekvenser, till exempel kompositantal eller värden på aritmetiska funktioner?” frågar hon.
”Ken Ono är enligt min mening en av de mest spännande matematikerna i dag,” säger Andrews. ”Det här är inte första gången han har sett till ett klassiskt problem och tagit riktigt nya saker till ljus.”
Det återstår en glut av Öppna frågor om primtalav vilka många är långvariga. Två exempel är tvillingföreställning och Goldbachs antagande. Twin Prime -antagandet säger att det finns oändligt många tvillingprimar – primtal som är separerade med ett värde på två. Siffrorna 5 och 7 är tvillingprimor, liksom 11 och 13. Goldbachs antagande säger att ”varje jämnt antal större än 2 är en summa av två primes på minst ett sätt,” säger Ono. Men ingen har bevisat att detta antagande är sant.
”Problem som det har förvirrat matematiker och nummerteoretiker i generationer, nästan genom hela historien om nummerteori,” säger Ono. Även om hans lags senaste upptäckt inte löser dessa problem, säger han, är det ett djupt exempel på hur matematiker driver gränser för att bättre förstå den mystiska naturen i primtal.
Denna artikel publicerades först på Vetenskaplig amerikan. © ScientificArican.com. Alla rättigheter reserverade. Följa Tiktok och Instagram, X och Facebook.
